C(n,k) pas à pas, triangle de Pascal interactif et propriétés
Ce calculateur de coefficient binomial vous permet de calculer C(n,k) — aussi noté « n parmi k » ou (nk) — instantanément pour des valeurs de n allant jusqu'à 1 000. Il utilise l'arithmétique en précision arbitraire (BigInt) pour fournir des résultats exacts, même pour de très grands nombres comme C(100,50) qui possède 30 chiffres.
L'outil affiche le calcul détaillé pas à pas avec les valeurs des factorielles, la vérification par symétrie, et l'interprétation combinatoire du résultat. Le triangle de Pascal interactif (jusqu'à 20 lignes) permet de visualiser les coefficients et de cliquer sur n'importe quelle valeur pour la calculer. La valeur sélectionnée est mise en surbrillance dans le triangle.
Idéal pour les exercices de combinatoire et probabilités au lycée et en prépa, pour vérifier un calcul de dénombrement, ou pour explorer les propriétés du coefficient binomial (symétrie, formule de Pascal, somme d'une ligne). Des exemples concrets comme le Loto (C(49,6) = 13 983 816) et le Poker (C(52,5) = 2 598 960) illustrent les applications pratiques.
Le coefficient binomial C(n,k) se calcule avec la formule C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). Par exemple, C(5,2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10. Il représente le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre.
Le triangle de Pascal est une disposition triangulaire des coefficients binomiaux. Chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus de lui (formule de Pascal : C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)). La ligne n contient les coefficients C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Par exemple la ligne 4 donne 1, 4, 6, 4, 1.
Il sert en combinatoire (compter les sous-ensembles), en probabilités (loi binomiale), dans le binôme de Newton pour développer (a+b)ⁿ, et en informatique (chemins dans un graphe, algorithmes). C'est une notion fondamentale étudiée au lycée et en classes préparatoires.
Symétrie : C(n,k) = C(n,n−k). Bords : C(n,0) = C(n,n) = 1. Pascal : C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). Somme d'une ligne : la somme de tous les C(n,k) pour k de 0 à n vaut 2ⁿ. Absorption : C(n,k) = (n/k) × C(n−1,k−1).
Ce calculateur supporte n jusqu'à 1 000 grâce à l'arithmétique en précision arbitraire (BigInt). Le résultat est toujours exact, même pour de très grands nombres. Par exemple C(100,50) = 100 891 344 545 564 193 334 812 497 256 possède 30 chiffres.