Comprendre les lois
Loi binomiale et loi normale, mode d’emploi
La loi binomiale compte des succès dans une série d’épreuves identiques et indépendantes. La loi normale décrit des grandeurs qui se répartissent en cloche autour d’une moyenne. L’outil calcule les probabilités de l’une et de l’autre, et compare la première à la seconde quand on les approche.
Loi binomiale B(n ; p)
On répète n fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p, de façon indépendante, et X compte les succès. Alors P(X = k) = C(n ; k) × pk × (1 − p)n − k. Pour B(10 ; 0,3), P(X = 3) = 120 × 0,33 × 0,77 ≈ 0,2668. L’espérance vaut np = 3 et la variance np(1 − p) = 2,1.
Loi normale N(μ ; σ)
X est une variable continue de moyenne μ et d’écart-type σ. L’outil note N(μ ; σ) avec l’écart-type, alors qu’on écrit aussi N(μ ; σ²) avec la variance, comme dans beaucoup de manuels français. Vérifiez la convention de votre énoncé. On se ramène à la loi centrée réduite par Z = (X − μ) ÷ σ.
Loi continue, probabilité d’un point
Pour une variable continue, P(X = x) vaut toujours 0. Seuls comptent les intervalles, et inclure ou non les bornes ne change rien. C’est la grande différence avec la loi binomiale, où P(X = k) est strictement positive.
Valeurs à connaître pour la loi normale
Pour toute loi normale, P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,6827, P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,9545 et P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,9973. On retient souvent 68 % et 95 %.
Pour Z de loi N(0 ; 1), P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) ≈ 0,9500 et P(−2,58 ≤ Z ≤ 2,58) ≈ 0,9901. Plus précisément, le quantile d’ordre 0,975 vaut 1,95996 et celui d’ordre 0,995 vaut 2,57583. Un exemple d’usage est la taille d’une population de moyenne 170 et d’écart-type 7, avec z = 10 ÷ 7 ≈ 1,43 pour 180, d’où P(X ≥ 180) ≈ 0,07656.
Approcher une loi binomiale par une loi normale
Quand n est grand, B(n ; p) est proche de N(np ; √(np(1 − p))). Les conditions usuelles sont n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5, ce sont celles que l’outil annonce.
X ne prend que des valeurs entières, d’où la correction de continuité. On approche P(a ≤ X ≤ b) par la probabilité que la loi normale soit entre a − 0,5 et b + 0,5. Pour les événements X ≤ k et X ≥ k, l’outil prend pour bornes les valeurs extrêmes 0 et n de X. Avec B(100 ; 0,4) et 35 ≤ X ≤ 45, la valeur exacte est 0,7386. L’approximation avec correction donne 0,7384, sans correction elle donnerait seulement 0,6926.
Chercher une valeur à partir d’une probabilité
Le quantile d’ordre α est le nombre x tel que P(X ≤ x) = α. Pour N(170 ; 7) et α = 0,9, on trouve x ≈ 178,97. Il se calcule pour Z de loi N(0 ; 1), puis par x = μ + σ × z.
Comment l’outil calcule
- Loi binomiale — pour chaque valeur i, P(X = i) est calculée par logarithmes avec la formule de Loader, sans former le coefficient binomial, ce qui évite les dépassements de capacité jusqu’à n = 100 000. Les probabilités demandées sont sommées terme à terme sur les seules valeurs concernées, avec une sommation compensée, et la probabilité contraire est obtenue par une somme séparée sur les autres valeurs, ou par différence à 1 pour un événement d’une seule valeur. Les très petites probabilités gardent ainsi leurs chiffres significatifs.
- Loi normale — Φ(z) se calcule à partir de erfc. Pour |z| inférieur à 2√2 ≈ 2,83, l’outil évalue erf par une série à termes positifs. Au-delà, il évalue erfc par une fraction continue. Une probabilité P(X ≥ x) est calculée directement par la queue, jamais par 1 − Φ(z), d’où P(Z ≥ 8) ≈ 6,221 × 10⁻¹⁶.
- Quantile — approximation rationnelle d’Acklam, affinée par deux itérations de la méthode de Halley sur la fonction de répartition. Le calcul se fait sur la plus petite des deux queues.
- Affichage — quatre chiffres significatifs, et l’écriture scientifique 2,867 × 10⁻⁷ sous 10⁻⁴. Sous 10⁻³⁰⁰, l’outil indique que la probabilité est trop petite pour être représentée.