Comprendre la simulation
Une fréquence observée n’est pas une probabilité exacte
Un lancer regroupe tous les dés choisis. Une répétition produit donc une seule somme, même si plusieurs dés sont lancés. Le résultat d’une série décrit ce qui a été observé pendant cette série. Les probabilités théoriques décrivent le modèle de dés équilibrés et indépendants.
Compter les issues
Avec deux dés, les couples ordonnés sont les issues élémentaires. Obtenir 1 puis 6 et obtenir 6 puis 1 sont deux issues distinctes. Il existe six possibilités pour chaque dé, soit trente-six couples. La même méthode s’étend à un plus grand nombre de dés.
Passer aux sommes
Une somme peut correspondre à plusieurs couples. Pour obtenir 7 avec deux dés, les couples sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1). La probabilité est donc 6/36, soit 1/6. Pour obtenir 2, seul le couple (1,1) convient, soit 1/36.
Comparer une série
Le compte indique combien de répétitions ont donné une somme. Sa fréquence est ce compte divisé par la taille de la série. Le tableau montre aussi la différence entre cette fréquence et la probabilité théorique, exprimée en points de pourcentage.
L’exemple de deux dés et mille répétitions
Avec les réglages proposés à l’ouverture, une série comporte mille sommes et deux mille tirages individuels de dé. La moyenne théorique des sommes vaut 7. La variance vaut 35/6 et l’écart-type vaut environ 2,415. Pour la somme 7, le compte attendu est 1 000/6, soit environ 166,667. Il s’agit d’une moyenne théorique sur des séries répétées, pas d’un compte promis pour votre prochain essai.
La loi des grands nombres et les fluctuations
En répétant une même expérience indépendante, les fréquences tendent vers les probabilités du modèle. Cette convergence ne signifie pas que chaque essai supplémentaire réduit chaque écart. Une nouvelle série, même plus longue, peut momentanément s’écarter davantage. Les événements rares peuvent rester absents d’une série finie. Une fréquence nulle ne démontre donc pas qu’une somme est impossible.
Somme, moyenne et loi binomiale
La moyenne théorique d’un dé vaut 3,5 et sa variance vaut 35/12. Pour n dés indépendants, les moyennes et les variances s’additionnent. L’écart-type de la somme vaut la racine carrée de 35n/12. La somme de dés à six faces ne suit pas une loi binomiale. En revanche, compter combien de fois un événement fixé se produit dans une série indépendante relève d’un modèle binomial.
Utiliser les résultats en classe
Le dernier lancer montre une réalisation particulière. La moyenne observée et le tableau portent sur toute la série. Modifiez les réglages pour préparer une nouvelle expérience, puis déclenchez-la quand vous êtes prêt. Une copie conserve les valeurs affichées et les probabilités exactes sous forme de fractions. Pour un compte rendu, précisez qu’il s’agit d’une simulation numérique reposant sur le pseudoaléatoire du navigateur.
Méthode de calcul
- Les dés sont supposés équilibrés et indépendants. La distribution exacte est calculée en comptant les combinaisons ordonnées, par convolutions successives. Pour n dés, il y a 6ⁿ issues équiprobables.
- Le pseudoaléatoire repose sur Math.random, documenté par MDN. Il renvoie un nombre supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à un. Cet outil ne sert pas à la sécurité ni aux jeux d’argent.
- La moyenne théorique vaut 7n/2 et la variance 35n/12. L’écart-type est la racine carrée de la variance. Les fréquences simulées sont les comptes divisés par le nombre de répétitions.