Voici un joli résultat sur les nombres premiers : on peut toujours partitionner les entiers de 1 à 2n en paires de sorte que la somme de chaque paire soit égale à un nombre premier.
Exemple. Pour n = 10, on voudrait partitionner l’ensemble {1, 2,…,2n} en sous-ensemble à deux éléments de sorte que la somme des éléments de chaque sous-ensemble donne un nombre pre- mier. On peut s’y prendre comme ceci :
Il est intéressant de noter que le partitionnent n’est pas unique. On a par exemple :
où à partir de la seconde ligne on ajoute 1 au premier terme et on retire 1 au second, de fait la somme est conservée et on parcourt tous les entiers entre 3 et 20.
Théorème : Pour tout n ≥ 1, l’ensemble {1,…, 2n} peut être partitionné en paire {a1,b1}, {a2,b2} …, {an,bn} de sorte que pour tout 1≤i≤n, ai+bi soit premier.
La preuve se base sur le postulat de Bertrand. Ce dernier nous dit qu’entre un entier et son double, il existe toujours au moins un nombre premier. Plus précisément, l’énoncé usuel est le suivant : pour tout entier n > 1, il existe un nombre premier p tel que n < p < 2n. On admet ce résultat ici.
Démontrons alors la proposition.
Preuve. On va procéder par récurrence forte. L’initialisation est triviale. On suppose ensuite le résultat vrai pour les entiers de 1 à n − 1 pour un certain n ≥ 2 et on veut alors montrer le résultat au rang n. Par le postulat de Bertrand, on dispose d’un nombre premier p entre 2n et 4n. On peut même dire qu’il se situe entre 2n+1 et 4n−1. On commence alors à former des paires de la manière suivante :
C’est le même principe que dans l’exemple. On partitionne alors les entiers compris entre p −2n et 2n. On applique alors l’hypothèse de récurrence sur l’ensemble {1,…, p−2n−1}, ce qui conclut.