Introduction
On a souvent l’impression que si l’on court plus vite qu’une personne devant nous, on finira inévitablement par la rattraper. Cette idée semble logique, mais est-elle toujours vraie ? Pour répondre à cette question, examinons les vitesses relatives et les distances parcourues en fonction du temps. Nous allons supposer que le temps peut être infini pour explorer les implications théoriques de cette situation. Utilisons l’exemple de deux coureurs pour illustrer ce concept.
Exemple 1 : Vitesses constantes
Considérons deux coureurs : le coureur 1 court à une vitesse constante de $10 \, \text{m/s}$, et le coureur 2 court à une vitesse constante de $11 \, \text{m/s}$. Le coureur 1 a une avance de 5 secondes.
Pour déterminer le temps nécessaire pour que le coureur 2 rattrape le coureur 1, nous pouvons utiliser la formule suivante :
$$
t = \frac{\text{distance d’avance}}{\text{différence de vitesse}} = \frac{10 \times 5}{1} = 50 \, \text{secondes}
$$
Dans ce cas, le coureur 2 rattrapera le coureur 1 en 50 secondes. Cet exemple montre que lorsque les vitesses sont constantes, un coureur plus rapide finira toujours par rattraper un coureur plus lent.
Exemple 2 : Vitesse variable (Quadratique)
Supposons maintenant que le coureur 1 court toujours à $10 \, \text{m/s}$, mais que la vitesse du coureur 2 diminue au cours du temps de manière quadratique : $$ v_2(t) = 10 + \frac{1}{t^2 + 1} \, \text{m/s} $$.
La distance parcourue par le coureur 2 est donnée par l’intégrale de sa vitesse :
$$
d_2(t) = \int v_2(t) \, dt = \int \left(10 + \frac{1}{t^2 + 1}\right) dt = 10t + \arctan(t)
$$
Pour que le coureur 2 rattrape le coureur 1, il doit parcourir la même distance que le coureur 1 en 5 secondes de moins. Nous devons résoudre l’équation suivante pour trouver le temps ( t ) où les distances sont égales :
$$
d_1(t) = d_2(t – 5)
$$
Ce qui donne :
$$
10t = 10(t – 5) + \arctan(t – 5)
$$
Simplifions cette équation :
$$
10t = 10t – 50 + \arctan(t – 5)
$$
$$
0 = -50 + \arctan(t – 5)
$$
Cette équation n’a pas de solution réelle car $\arctan(t – 5)$ est toujours compris entre $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$, et ne peut donc jamais compenser -50. Ainsi, même si le coureur 2 part plus vite, il ne pourra jamais rattraper le coureur 1 en raison de la diminution de sa vitesse au fil du temps.
Exemple 3 : Vitesse variable (Hyperbolique)
Enfin, considérons le cas où le coureur 2 court à une vitesse donnée par $$ v_2(t) = 10 + \frac{1}{t + 1} \, \text{m/s} $$
La distance parcourue par le coureur 2 est alors donnée par l’intégrale de sa vitesse :
$$
d_2(t) = \int v_2(t) \, dt = \int \left(10 + \frac{1}{t + 1}\right) dt = 10t + \ln(t + 1)
$$
Pour déterminer si le coureur 2 peut rattraper le coureur 1, nous devons résoudre l’équation suivante :
$$
d_1(t) = d_2(t – 5)
$$
Ce qui donne :
$$
10t = 10(t – 5) + \ln((t – 5) + 1)
$$
Simplifions cette équation :
$$
10t = 10t – 50 + \ln(t – 4)
$$
$$
0 = -50 + \ln(t – 4)
$$
Cette équation a une solution unique :
$$
\ln(t – 4) = 50
$$
Pour résoudre cette équation, nous devons exponentier les deux côtés :
$$
t – 4 = e^{50}
$$
Donc,
$$
t = e^{50} + 4
$$
Bien que le coureur 2 puisse théoriquement rattraper le coureur 1, le temps nécessaire est extrêmement long, de l’ordre de $ 5.18 \times 10^{21} $ secondes.
Conclusion
Ces exemples montrent que, même si un coureur part plus vite qu’un autre, il ne pourra pas toujours le rattraper. La nature de la variation de la vitesse joue un rôle crucial dans la détermination de l’issue de la course. Dans certains cas, les lois de la physique et des mathématiques peuvent défier notre intuition.